Simplificar fracciones





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Simplificar fracciones


La forma más simple de una fracción es una fracción “que no se puede reducir más”. Esto significa, en lenguaje matemático, que no puede ser simplificada, y que hemos encontrado su fracción irreducible.
¿Cómo podemos saber si una fracción está totalmente reducida? Si una fracción no está en su forma irreducible, ¿cómo podemos transformarla en su forma más simple?
A continuación, tendremos respuesta a estas dos cuestiones.

I. Definiciones y propiedades

1. Definiciones
Definición 1: a y b son dos números naturales, siendo Simplificar fracciones; decimos que podemos simplificar la fracción Simplificar fraccionessi a y b tienen un máximo común divisor (M.C.D.) k mayor o igual que 2.
En ese caso, habrá dos números naturales c y d tal que a = c × k y b = d × k y podremos escribir: Simplificar fracciones; decimos que hemos simplificado la fracción por k.
Por ejemplo, la fracción Simplificar fraccionespuede ser simplificada por 2, así que: Simplificar fracciones.
Definición 2: a y b son dos números naturales, siendo Simplificar fracciones. Decimos que la fracción Simplificar fraccionesestá en su forma más simple, o que no puede ser reducida (es irreducible), si no puede simplificarse más.
2. Propiedad
Decir que una fracción Simplificar fraccionesestá simplificada o que es irreducible, significa que a y b no tienen ningún divisor común aparte del 1, o que el M.C.D. (ab) = 1.
Por ejemplo, la fracción Simplificar fraccionesno puede ser reducida porque el único divisor común de 7 y 6 es el 1.
Usando esta propiedad, para saber si una fracción Simplificar fraccionesestá en su forma irreducible o no, solo necesitamos calcular el máximo común divisor de a y b.
Y nos encontraremos con dos posibilidades:
- si el M.C.D. (a, b) = 1, la fracción está en su forma irreducible;
- si el M.C.D. (ab) Simplificar fracciones1, podemos simplificar la fracción y calcular la fracción irreducible simplificando por el M.C.D. (ab) que acabamos de calcular.

II. Calcular el máximo común divisor de dos números

1. Los distintos métodos
Propiedad: si a y b son dos números naturales distintos de cero, tal que a > b, entonces: M.C.D. (a b) = M.C.D. (ba – b).
Método: para calcular el máximo común divisor de dos números naturales aplicaremos la propiedad anterior muchas veces y en cada etapa obtendremos un número más pequeño. Los dos ejemplos de abajo muestran cómo se lleva a cabo el proceso.
Ejemplo 1: calcula el máximo común divisor de 18 y de 12. Hacemos sucesivamente: M.C.D. (18, 12) = M.C.D. (12, 6) = M.C.D. (6, 6) = 6.
Ejemplo 2: calcula el máximo común divisor de 45 y de 32. Hacemos sucesivamente: M.C.D. (45, 32) = M.C.D. (32, 13) = M.C.D. (19, 13) = M.C.D. (13, 6) = M.C.D. (7, 6) = M.C.D. (6, 1) = 1.
La etapa final del proceso ha de ser una de las siguientes:
- M.C.D. (nn), donde Simplificar fracciones; en este caso el M.C.D. será n;
- M.C.D. (n, 1), donde Simplificar fracciones; en este caso el M.C.D. será 1.

2. Algoritmo de Euclides

Propiedad: si a y b son dos números naturales distintos de cero, tal que a > b y si llamamos r al resto de la división de a entre b, entonces M.C.D. (ab) = M.C.D. (br). Esta propiedad es conocida como algoritmo de Euclides porque usa este tipo de división con resto, la cual es conocida como división euclidiana.
Método: para calcular el máximo común divisor de dos números naturales aplicaremos la propiedad anterior varias veces y pararemos en la primera división cuyo resto sea cero. El máximo común divisor será entonces el último resto distinto de cero de toda la serie de divisiones que hemos realizado. Todo el algoritmo se verá más fácilmente si presentamos los pasos y los resultados organizados en una tabla, mediante el siguiente ejemplo:
Ejemplo: calcula el máximo común divisor de 128 y de 58.
Simplificar fracciones
El máximo común divisor de 128 y 58 es igual a 2.

3. Por descomposición factorial

Para calcular el M.C.D. (a, b) realizamos la descomposición en factores primos de los dos números y la expresamos mediante potencias. A continuación, escogemos aquellos factores primos que sean comunes a ambos y que estén elevados al menor exponente. Si resolvemos su producto, obtenemos el máximo común divisor de a y b.
Este método no solo sirve para calcular el máximo común divisor de dos números, sino que se puede aplicar a tantos como necesitemos. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: queremos calcular el máximo común divisor de 84, 120 y 168.
Factorizamos los tres números:
Simplificar fracciones
Y luego los expresamos con potencias:
Simplificar fracciones
Ahora escogemos y multiplicamos los factores comunes, elevados al menor exponente: 22 · 3 = 4 · 3 = 12. Por lo tanto, el M.C.D. (84, 120, 168) = 12.

III. Ejemplos de aplicación

1. Reconocer si una fracción está simplificada o no
Ejemplo: queremos demostrar que la fracción Simplificar fraccioneses irreducible.
Calculamos el máximo común divisor de 352 y 159 usando el algoritmo de Euclides y obtenemos la siguiente tabla:
Simplificar fracciones
Por lo tanto, tenemos que el M.C.D. (159, 352) = 1; lo cual demuestra que Simplificar fraccioneses una fracción irreducible.

2. Calcular la fracción irreducible de una fracción cualquiera

Ejemplo 1: queremos hallar la fracción irreducible de la fracción Simplificar fracciones, simplificando por el máximo común divisor calculado mediante el algoritmo de Euclides.
Si calculamos el máximo común divisor de 1.612 y 1.519 usando el algoritmo de Euclides, obtenemos la siguiente tabla:
Simplificar fracciones
Tenemos que el M.C.D. (1.612, 1.519) = 31. Por lo tanto, podemos simplificar la fracción por 31 y obtenemos la irreducible:
Simplificar fracciones
Ejemplo 2: queremos hallar la fracción irreducible de la fracción Simplificar fracciones, simplificando por el máximo común divisor hallado por descomposición factorial.
Calculamos el máximo común divisor del numerador y del denominador por factorización:
Simplificar fracciones
Por lo tanto, Simplificar fracciones
El M.C.D. (1.320, 2.100) = 22 · 3 · 5 = 4 · 3 · 5 = 60.
Simplificamos Simplificar fraccionespor 60: Simplificar fracciones. La fracción irreducible de Simplificar fraccioneses Simplificar fracciones.
Nota: como resulta obvio, una fracción cualquiera y su irreducible, son fracciones equivalentes entre sí.
IV. Un método rápido para simplificar fracciones
Queremos hallar la fracción irreducible de Simplificar fracciones.
Hallamos la descomposición factorial de 126 y 462:
Simplificar fracciones
Ahora vamos tachando de ambas listas aquellos factores primos que sean comunes:
Simplificar fracciones
Los únicos números que han quedado sin simplificar han sido el 3 y el 11. Es decir, la fracción irreducible de Simplificar fraccioneses Simplificar fracciones.
Podemos ver la simplificación de esta otra forma: Simplificar fracciones
Ver también el artículo Reducir fracciones a común denominador.

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