Reducir fracciones a común denominador





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Reducir fracciones a común denominador


Para reunir el dinero necesario para comprar una pulsera a su madre, Bruno le da a su padre Reducir fracciones a común denominadordel precio del regalo, y Celia le da Reducir fracciones a común denominador. ¿Quién ha aportado más dinero, Bruno o Celia?
Con la ayuda de una calculadora, podemos comprobar que: Reducir fracciones a común denominador  Reducir fracciones a común denominador 0,086 y Reducir fracciones a común denominador  Reducir fracciones a común denominador 0,089. Por lo tanto, es Celia quien más dinero ha dado.
¿Existe algún otro método para resolver este tipo de problemas?

I. El método

1. Comprobar si dos cantidades escritas en forma de fracción son iguales

Regla: si en una fracción multiplicamos el numerador y el denominador por una misma cantidad distinta de cero, el valor de la fracción no cambia.
Es decir, podemos escribir, con letras (a, c y k representan números; Reducir fracciones a común denominador 0 y Reducir fracciones a común denominador 0): Reducir fracciones a común denominador
Ejemplos: Reducir fracciones a común denominador, y con un número entero: Reducir fracciones a común denominador
Este tipo de fracciones recibe el nombre de fracciones equivalentes.
Ahora que sabemos obtener la fracción equivalente a una dada, veamos un método para comprobar si dos fracciones cualesquiera son equivalentes:
Dos fracciones Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadorson equivalentes si su producto cruzado es igual. Es decir, son equivalentes si a · d = b · c.
Ejemplo 1: queremos comprobar si Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadorson equivalentes. Hacemos el producto cruzado: 84 · 5 y 7 · 60. Efectivamente, comprobamos que 84 · 5 = 7 · 60 ya que 420 = 420.
Ejemplo 2: queremos comprobar si Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadorson equivalentes. Hacemos el producto cruzado: 9 · 48 y 12 · 27. Comprobamos que no son equivalentes porque 432 ≠ 324.

2. Reducir a común denominador usando tablas

Ejemplo 1: queremos escribir las fracciones Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadorcon el mismo denominador.
Observa que 30 es un múltiplo de 5 (30 = 5 × 6). Entonces calculamos una fracción equivalente a Reducir fracciones a común denominadorque tenga por denominador el número 30; para ello multiplicamos sus términos por 6:
Reducir fracciones a común denominador
Ahora ya podemos escribir Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadorde esta otra forma: Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador.
A este proceso se le denomina reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo 2: ahora vamos a reducir Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadora común denominador. Este caso no es tan sencillo como el anterior. En la tabla de abajo hemos escrito los múltiplos de 12 en la fila superior y los múltiplos de 20 en la inferior. Ahora, mirando en ambas filas, buscamos un número que esté en las dos, y encontramos el 60.
Reducir fracciones a común denominador
60 es al mismo tiempo múltiplo de 12 (60 = 5 × 12) y de 20 (60 = 20 × 3). Por consiguiente, es el número que vamos a utilizar para reducir Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadora común denominador.
Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador
Hemos reducido Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadora común denominador: Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador.
Nota: 60 es el múltiplo común más pequeño de 12 y de 20. Normalmente se dice que “el mínimo común múltiplo de 12 y de 20 es 60”. Esto lo podemos escribir así: m.c.m. (12, 20) = 60.
Ejemplo 3: reduce Reducir fracciones a común denominador , Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadora común denominador.
Podemos usar el mismo método, pero en esta ocasión construiremos una tabla de tres filas, una para cada denominador.
Reducir fracciones a común denominador
Utilizando el mismo procedimiento que en el caso anterior, escogemos 42 como mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 6, 14 y 21. De esta forma tenemos:
Reducir fracciones a común denominador ; Reducir fracciones a común denominador ; Reducir fracciones a común denominador
Hemos reducido Reducir fracciones a común denominador; Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadora común denominador.
Nota: 42 es el múltiplo común más pequeño de 14, 21 y 6. En lugar de dibujar la tabla para calcular el m.c.m. de varios números, podemos utilizar otro método más rápido, que vamos a exponer a continuación.

3. Reducir a común denominador por descomposición factorial

Vamos a reducir a común denominador Reducir fracciones a común denominador, Reducir fracciones a común denominador, Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador. Para ello hay que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores, pero lo vamos a hacer usando su descomposición factorial. Por lo tanto, descomponemos cada denominador en su producto de factores primos:
Reducir fracciones a común denominador
Así tenemos que:
Reducir fracciones a común denominador
Recuerda que para calcular el m.c.m. tomamos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, esto es: 22 · 32 = 4 · 9 = 36. Por tanto, el m.c.m. (12, 9, 18 y 6) = 36. Ya tenemos el número que va a ser el común denominador: 36.
Ahora tenemos que hallar las nuevas fracciones equivalentes a Reducir fracciones a común denominador, Reducir fracciones a común denominador, Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadorque tengan 36 como denominador. Por eso tenemos que calcular el nuevo valor para cada uno de los numeradores, Reducir fracciones a común denominador, Reducir fracciones a común denominador, Reducir fracciones a común denominador, Reducir fracciones a común denominador; procedemos de la siguiente forma:
A) dividimos 36 entre el denominador antiguo;
B) multiplicamos el resultado por el numerador antiguo;
C) escribimos la fracción con su nuevo numerador.
Reducir fracciones a común denominador

II. Aplicaciones

1. Comparar dos números fraccionarios
Regla: para comparar dos fracciones las reducimos a común denominador y, a continuación, comparamos los numeradores: será mayor de las dos aquella que tenga mayor numerador. Podemos usar esta regla para ordenar fracciones, ya sea en orden creciente o decreciente.
Notas:
—Si las dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor aquella cuyo numerador es mayor. Por ejemplo: queremos comparar Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador; entonces Reducir fracciones a común denominadorporque 19>13.
—Si las dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. Por ejemplo, queremos comparar Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador; entonces Reducir fracciones a común denominadorporque 12<23.
Ejemplo 1: queremos comparar Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador.
El método consiste en reducirlas a común denominador para poder compararlas. Para ello hallamos el mínimo común múltiplo de 21 y 35. El primer paso es hacer la descomposición factorial:
Reducir fracciones a común denominadorReducir fracciones a común denominador, y entonces, Reducir fracciones a común denominador
Hallamos las fracciones equivalentes a Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador, con denominador 105:
Reducir fracciones a común denominador
Podemos decir que Reducir fracciones a común denominador, por lo tanto, Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo 2: queremos comparar Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominador.
Hallamos el mínimo común múltiplo de 7 y 10. El primer paso es hacer la descomposición factorial:
Reducir fracciones a común denominador, y entonces, Reducir fracciones a común denominador
Hallamos las fracciones equivalentes a Reducir fracciones a común denominadory Reducir fracciones a común denominadorcon denominador 70:
Reducir fracciones a común denominador
Podemos decir que Reducir fracciones a común denominador, por lo tanto, Reducir fracciones a común denominador.

2. Calcular una suma de fracciones

Queremos calcular Reducir fracciones a común denominador.
Reducimos a común denominador; para ello calculamos el mínimo común múltiplo de 15, 6 y 20. El primer paso es hacer la descomposición factorial:
Reducir fracciones a común denominador, y entonces, Reducir fracciones a común denominador
Hallamos ahora las fracciones equivalentes con denominador 60:
Reducir fracciones a común denominador
Ya podemos sumar: Reducir fracciones a común denominador. Y si simplificamos el resultado:
Reducir fracciones a común denominador, es decir, Reducir fracciones a común denominador.
Por lo tanto, Reducir fracciones a común denominador
Ver también los artículos Simplificar fracciones, Sumar y restar fracciones y Reconocer fracciones equivalentes.


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